平面図形_三平方_二等辺三角形を見つける

1. 次の図のように三角形\(ABC\)があり、\( \angle ABC\)の二等分線と\(AC\)との交点を\(D\)、
       \(A\)から\(BD\)に下した垂線を\(AE\)、\(BE\)の中点を\(F\)とする。
     \(AB:BC=1:3\)、\(AF=5cm\)のとき\(AC\)の長さを求めなさい。
   

1. 次の図のように三角形\(ABC\)があり、\( \angle ABC\)の二等分線と\(AC\)との交点を\(D\)、
       \(A\)から\(BD\)に下した垂線を\(AE\)、\(BE\)の中点を\(F\)とする。
       \(AB:BC=1:3\)、\(AF=5cm\)のとき\(AC\)の長さを求めなさい。

角の二等分線の定理より、\(AB:BC=AD:DC=1:3\)



ここで\(AE\)の延長線と\(BC\)との交点を\(G\)とする。



\( \triangle ABG\)において、\( \angle ABG\)のの等分線が\(AG\)と垂直に交わるので、
\( \triangle ABG\)は\(BA=BG\)の二等辺三角形である。

よって、\(BG=1\)、\(GC=2\)となる。

次に\(BE:ED\)をメネラウスの定理によって求める。



  \(
    \dfrac{AD}{CA} \times \dfrac{EB}{DE} \times \dfrac{BG}{GC}=1
    \)

  \(
    \dfrac{①}{③+①} \times \dfrac{EB}{DE} \times \dfrac{2}{1}=1
    \)

  \(
    \dfrac{EB}{DE} =2
  \)

\(DE:EB=1:2\)

また、点\(F\)は\(BE\)の中点なので、\(BF:FE:ED=1:1:1\)

ここで、\( \triangle ADF\)は頂点\(A\)から\(FD\)に下した垂線が\(FD\)を二等分するので、\(AF=AD\)の二等辺三角形である。



よって、\(AD=AD=5cm\)

\(AD:DC=1:3\)より、

\( AC= 5 \times \dfrac{1+3}{1}=20\)

\(AC=20cm \)

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