場合の数_じゃんけん_典型問題

1. \(A\)、\(B\)、\(C\)の3人でじゃんけんをするとき、Aが勝つ確率を求めなさい。
2. 3人でじゃんけんをするとき、誰か１一人だけが勝つ確率を求めなさい。
3. 3人でじゃんけんをするとき、2人勝つ確率を求めなさい。
4. 3人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めなさい。
5. 4人でじゃんけんをするとき、誰か１一人だけが勝つ確率を求めなさい。
6. 4人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めなさい。

 

3人でじゃんけんをする場合、それぞれが(グー,チョキ,パー)の3通りの出し方があるので、
 
すべての場合は\(3^3=27\)通り

1. \(A\)、\(B\)、\(C\)の3人でじゃんけんをするとき、Aが勝つ確率を求めなさい。

 

\(A\)がもしグーを出したならば、\(B\)、\(C\)はパーの1通りずつしかない。

\(A\)はグー・チョキ・パ―の3種類の出し方があるので、Aが勝つ場合は\(3 \times 1 \times 1 =3\)通り。

よって確率は\(\dfrac{3}{27}=\dfrac{1}{9}\)

\( \dfrac{1}{9} \)

2. 3人でじゃんけんをするとき、誰か１一人だけが勝つ確率を求めなさい。

 

①と比べて、勝つ人が\(A\)、\(B\)、\(C\)の3通りあるので、

\(\dfrac{1}{9} \times 3=\dfrac{1}{3}\)

\( \dfrac{1}{3} \)

3. 3人でじゃんけんをするとき、2人勝つ確率を求めなさい。

 

「1人勝ち/2人負ける」のと「1人負ける/2人勝つ」確率は同じ。

\( \dfrac{1}{3} \)

【計算で求める】

勝つ2人を選ぶ　→　3人から1人選ぶので\( _{3}C_{2}=3 \)通り。

何で勝つかを選ぶ→　グー・チョキ・パ―から1つ選ぶので、\( _{3}C_{2}=3 \)通り。

よって確率は\(\dfrac{3 \times 3}{27}=\dfrac{1}{3}\)

4. 3人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めなさい。

 

「1人勝ち」「2人勝ち」「あいこ」しかないので、②、③より余事象で求めると、

その確率は、\(1-\left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}  \right)=\dfrac{1}{3} \)

\( \dfrac{1}{3} \)

【計算で求める】

あいこになるのは全部同じか、全部異なるとき。

全部同じとき　→　\( 3 \times 1 \times 1=3通り \)(Aの出し方3通りで、BとCはAと同じものを出す。)

全部異なるとき　→　\( 3 \times 2 \times 1=6通り \)

よって全部で\( 3 + 6 = 9 \)通り。

よって確率は\(\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}\)

5. 4人でじゃんけんをするとき、誰か１一人だけが勝つ確率を求めなさい。

 

\(A,B,C,D\)の4人でじゃんけんをする場合、それぞれが(グー,チョキ,パー)の3通りの出し方があるので、
 
すべての場合は\(3^4=81\)通り

4人のうち\(A\)が勝つとすると、その出し方は
    \(
    \begin{array}{l} _{A} \\ 3 \times  \end{array}
    \begin{array}{l} _{B} \\ 1 \times \end{array}
    \begin{array}{l} _{C} \\ 1 \times \end{array}
    \begin{array}{l} _{D} \\ 1 \end{array}
    \begin{array}{l} _{} \\ =3通り \end{array}
    \)
    (\(B,C,D\)は\(A\)に負けるように出す。)

勝つ1人を選ぶのが\(_{4}C_{1}=4\)通りあるので、全部で\(3 \times 4=12\)通り。

よって確率は\(\dfrac{12}{81}=\dfrac{4}{27}\)

\( \dfrac{4}{27} \)

6. 4人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めなさい。

 

4人でじゃんけんする場合結果は、「1人勝つ」「2人勝つ」「3人勝つ」「あいこ」しかないので余事象として計算する。

●「1人勝つ」場合は④より\(12\)通り

●「2人勝つ」場合は

人の選び方が\(_{4}C_{2}=6\)通り
\(A,B\)の2人が勝つとするとその出し方は
    \(
    \begin{array}{l} _{A} \\ 3 \times  \end{array}
    \begin{array}{l} _{B} \\ 1 \times \end{array}
    \begin{array}{l} _{C} \\ 1 \times \end{array}
    \begin{array}{l} _{D} \\ 1 \end{array}
    \begin{array}{l} _{} \\ =3通り \end{array}
    \)
    ( \(B\)は\(A\)と同じ。\(C,D\)は\(A\)に負けるように出す。)
    よって、\( 6 \times 3=18\)通り

●「3人勝つ」場合は「1人勝つ」場合と同じで、\(12\)通り

よってあいこになる場合は\(81-(12+18+12)=39\)

よって確率は\(\dfrac{39}{81}=\dfrac{13}{27}\)

\( \dfrac{13}{27} \)

【計算で出す場合】

あいこになるのは、全部同じか(グー、チョキ、パー、？)の場合

全部同じとき\(3\)通り。

(グー、チョキ、パー、？)の場合、?の選び方が\(3\)通り

左から順に\(A,B,C,D\)とすると順番を入れ替えた場合もある。

？は、グー、チョキ、パーのいずれかとかぶるので\((1,2,3,3)\)のような並べ替えを考えて
      \( \dfrac{ _{4}P_{4}  }{ _{2}P_{2} }=12通り  \)

よって、(グー、チョキ、パー、？)の場合、\(3 \times 12=36\)通り。

全部で、\(3+36=39\)通り。

確率は、\( \dfrac{39}{81}=\dfrac{13}{27} \)

印刷はこちらから