数の性質_循環小数_変換と計算

循環小数

変換と計算

例題

\( 1.\dot{2} \)を分数で表しなさい。
\( 1.\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。
\( 0.\dot{2}3\dot{4} \)を分数で表しなさい。
\( 0.0\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。
\( 0.1\dot{2}+0.\dot{3}\dot{6} \)を計算しなさい。

まずはこう解け!

循環小数の表し方の原理原則を理解しておくこと。
分数に直して計算すること。

循環小数の表し方・・・繰り返されるはじめの数字とおわりの数字に\( \dot{} \)(ドット)を付ける。

例)
\( 2.3333\dots = 2.\dot{3} \)
\( 1.2323\dots = 1.\dot{2}\dot{3} \)
\( 0.213213\dots = 1.\dot{2}1\dot{3} \)

分数への直し方①　文字でおいて繰り返し部分を消去する。

\(1.\dot{2}\dot{3}\)を分数に直すとき、

\(x=1.\dot{2}\dot{3}=1.2323\dots\)とする。

ここで\(100x=123.\dot{2}\dot{3}=123.32323\dots \)とおいて差をとると

\(
\begin{array}{r}
100x = 123.32323\dots \\[-3pt]
\underline{x = \phantom{00}1.32323 \dots }\\[-3pt]
99x=122\phantom{000000000}
\end{array}
\)
よって\(x=\dfrac{122}{99}\)

分数への直し方②　\(\dfrac{1}{9}\)、\(\dfrac{1}{99} \dots \)と比べる。

\(\dfrac{1}{9}=0.111\dots=0.\dot{1}\)

\(\dfrac{1}{99}=0.01010\dots=0.\dot{0}\dot{1}\)

\(\dfrac{1}{999}=0.0010010\dots=0.\dot{0}0\dot{1}\)

たとえば\( 0.\dot{3}=0.\dot{1} \times 3=\dfrac{1}{9} \times 3=\dfrac{1}{3} \)と考える。

\(1.\dot{2}\dot{3}\)を分数に直すときは、
\( 1.\dot{2}\dot{3}=1+0.\dot{2}\dot{3}=\)
\(1+0.\dot{0}\dot{1} \times 23=1+\dfrac{23}{99}=\dfrac{122}{99} \)

今回の解説では②の解き方を主に使う。

解答

\( 1.\dot{2} \)を分数で表しなさい。

\(
\begin{eqnarray}
1.\dot{2} &=& 1+0.\dot{2} \\
&=& 1+0.\dot{1} \times 2 \\
&=& 1+\dfrac{1}{9} \times 2 \\
&=& 1+\dfrac{2}{9} \\
&=& \dfrac{11}{9}
\end{eqnarray}
\)

\( \dfrac{11}{9} \)

\( 1.\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。

\(
\begin{eqnarray}
1.\dot{2}\dot{3} &=& 1+0.\dot{2}\dot{3} \\
&=& 1+0.\dot{0}\dot{1} \times 23 \\
&=& 1+\dfrac{1}{99} \times 23 \\
&=& 1+\dfrac{23}{99} \\
&=& \dfrac{122}{99}
\end{eqnarray}
\)

\( \dfrac{122}{99} \)

\( 0.\dot{2}3\dot{4} \)を分数で表しなさい。

\(
\begin{eqnarray}
0.\dot{2}3\dot{4} &=& 0.\dot{0}\dot{0}\dot{1} \times 234 \\
&=& \dfrac{1}{999} \times 234 \\
&=& \dfrac{234}{999} \\
&=& \dfrac{26}{111}
\end{eqnarray}
\)

\( \dfrac{26}{111} \)

\( 0.0\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。

\(
\begin{eqnarray}
0.0\dot{2}\dot{3}
&=& 0.\dot{2}\dot{3} \times \dfrac{1}{10} \\
&=& \dfrac{23}{99} \times \dfrac{1}{10} \\
&=& \dfrac{23}{990}
\end{eqnarray}
\)

\( \dfrac{23}{990} \)

\( 0.1\dot{2}+0.\dot{3}\dot{6} \)を計算しなさい。

\(
\begin{eqnarray}
0.1\dot{2}
&=& 0.1+0.0\dot{2} \\
&=& 0.1+0.\dot{2} \times \dfrac{1}{10} \\
&=& 0.1+\dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{10} \\
&=& \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{45} \times 234 \\
&=& \dfrac{11}{90}
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
0.\dot{3}\dot{6}
&=& \dfrac{36}{99} \\
&=& \dfrac{4}{11} \\
\end{eqnarray}
\)

よって\( 0.1\dot{2}+0.\dot{3}\dot{6} \)\(=\dfrac{11}{90}+\dfrac{4}{11}=\dfrac{239}{990}\)

\( \dfrac{239}{990} \)

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