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数の性質_循環小数_変換と計算

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 循環小数

 変換と計算

例題
  1. \( 1.\dot{2} \)を分数で表しなさい。
  2. \( 1.\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。
  3. \( 0.\dot{2}3\dot{4} \)を分数で表しなさい。
  4. \( 0.0\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。
  5. \( 0.1\dot{2}+0.\dot{3}\dot{6} \)を計算しなさい。
    まずはこう解け!
 
  1. 循環小数の表し方の原理原則を理解しておくこと。
  2. 分数に直して計算すること。

  3. 循環小数の表し方・・・繰り返されるはじめの数字とおわりの数字に\( \dot{} \)(ドット)を付ける。

    例)
        \( 2.3333\dots = 2.\dot{3} \)
        \( 1.2323\dots = 1.\dot{2}\dot{3} \)
        \( 0.213213\dots = 1.\dot{2}1\dot{3} \)
       


    分数への直し方① 文字でおいて繰り返し部分を消去する。

    \(1.\dot{2}\dot{3}\)を分数に直すとき、
       
    \(x=1.\dot{2}\dot{3}=1.2323\dots\)とする。
       
    ここで\(100x=123.\dot{2}\dot{3}=123.32323\dots \)とおいて差をとると

        \(
        \begin{array}{r}
        100x = 123.32323\dots \\[-3pt]
        \underline{x = \phantom{00}1.32323 \dots }\\[-3pt]
        99x=122\phantom{000000000}
        \end{array}
        \)
        よって\(x=\dfrac{122}{99}\)
       


    分数への直し方② \(\dfrac{1}{9}\)、\(\dfrac{1}{99} \dots \)と比べる。

    \(\dfrac{1}{9}=0.111\dots=0.\dot{1}\)
       
    \(\dfrac{1}{99}=0.01010\dots=0.\dot{0}\dot{1}\)
       
    \(\dfrac{1}{999}=0.0010010\dots=0.\dot{0}0\dot{1}\)

    たとえば\( 0.\dot{3}=0.\dot{1} \times 3=\dfrac{1}{9} \times 3=\dfrac{1}{3} \)と考える。

    \(1.\dot{2}\dot{3}\)を分数に直すときは、
          \( 1.\dot{2}\dot{3}=1+0.\dot{2}\dot{3}=\)
          \(1+0.\dot{0}\dot{1} \times 23=1+\dfrac{23}{99}=\dfrac{122}{99} \)
       


    今回の解説では②の解き方を主に使う。

解答
  1. \( 1.\dot{2} \)を分数で表しなさい。
  2.  

    \(
        \begin{eqnarray}
        1.\dot{2} &=& 1+0.\dot{2} \\
        &=& 1+0.\dot{1} \times 2 \\
        &=& 1+\dfrac{1}{9} \times 2 \\
        &=& 1+\dfrac{2}{9} \\
        &=& \dfrac{11}{9}
        \end{eqnarray}
       \)

    \( \dfrac{11}{9} \)

  3. \( 1.\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。
  4.    

    \(
        \begin{eqnarray}
        1.\dot{2}\dot{3} &=& 1+0.\dot{2}\dot{3} \\
        &=& 1+0.\dot{0}\dot{1} \times 23 \\
        &=& 1+\dfrac{1}{99} \times 23 \\
        &=& 1+\dfrac{23}{99} \\
        &=& \dfrac{122}{99}
        \end{eqnarray}
       \)

    \( \dfrac{122}{99} \)

  5. \( 0.\dot{2}3\dot{4} \)を分数で表しなさい。
  6.  

    \(
      \begin{eqnarray}
      0.\dot{2}3\dot{4} &=& 0.\dot{0}\dot{0}\dot{1} \times 234 \\
      &=& \dfrac{1}{999} \times 234 \\
      &=& \dfrac{234}{999} \\
      &=& \dfrac{26}{111}
      \end{eqnarray}
     \)

    \( \dfrac{26}{111} \)

  7. \( 0.0\dot{2}\dot{3} \)を分数で表しなさい。
  8. \(
    \begin{eqnarray}
    0.0\dot{2}\dot{3}
    &=& 0.\dot{2}\dot{3} \times \dfrac{1}{10} \\
    &=& \dfrac{23}{99} \times \dfrac{1}{10} \\
    &=& \dfrac{23}{990}
    \end{eqnarray}
    \)

    \( \dfrac{23}{990} \)

  9. \( 0.1\dot{2}+0.\dot{3}\dot{6} \)を計算しなさい。
  10.  

    \(
      \begin{eqnarray}
      0.1\dot{2}
      &=& 0.1+0.0\dot{2} \\
      &=& 0.1+0.\dot{2} \times \dfrac{1}{10} \\
      &=& 0.1+\dfrac{2}{9} \times \dfrac{1}{10} \\
      &=& \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{45} \times 234 \\
      &=& \dfrac{11}{90}
      \end{eqnarray}
     \)

    \(
       \begin{eqnarray}
       0.\dot{3}\dot{6}
       &=& \dfrac{36}{99} \\
       &=& \dfrac{4}{11} \\
       \end{eqnarray}
      \)

    よって\( 0.1\dot{2}+0.\dot{3}\dot{6} \)\(=\dfrac{11}{90}+\dfrac{4}{11}=\dfrac{239}{990}\)

    \( \dfrac{239}{990} \)

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