数の性質_平方根_整数部分と小数部分

1. \(3\sqrt{5}\)の整数部分を\(a\)、小数部分を\(b\)としたとき、\( a^2-b^2 \)の値を求めなさい。
2. \(\sqrt{3}+1\)の整数部分を\(a\)、小数部分を\(b\)としたとき、\( ab+a+b+1 \)の値を求めなさい。
3. \(5-\sqrt{3}\)の整数部分を\(a\)、小数部分を\(b\)としたとき、\( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \)の値を求めなさい。

1. \(3\sqrt{5}\)の整数部分を\(a\)、小数部分を\(b\)としたとき、\( a^2-b^2 \)の値を求めなさい。

 

\(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\)

\(
    \begin{eqnarray}
     \sqrt{36} \lt &\sqrt{45}& \lt \sqrt{49} \\
     6 \lt &\sqrt{45}& \lt 7 \\
     6 \lt & 3\sqrt{5}& \lt 7 \\
    \end{eqnarray}
   \)

\(
     \begin{eqnarray}
     a^2-b^2
     &=& (a+b)(a-b) \\
     &=& 3 \sqrt{5} \times \left\{ 6- (3\sqrt{5}-6) \right\} \\
     &=& 3 \sqrt{5} \times \left( 12- 3\sqrt{5} \right) \\
     &=& 36\sqrt{5} -45
     \end{eqnarray}
    \)

\(36 \sqrt{5}-45 \)

2. \(\sqrt{3}+1\)の整数部分を\(a\)、小数部分を\(b\)としたとき、\( ab+a+b+1 \)の値を求めなさい。

 

\(
    \begin{eqnarray}
     \sqrt{1} \lt &\sqrt{3}& \lt \sqrt{4} \\
     1 \lt &\sqrt{3}& \lt 2 \\
     2 \lt &\sqrt{3}+1& \lt 3 \\
    \end{eqnarray}
   \)

よって\(a=2\)、\(b=\sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1\)

\(
     \begin{eqnarray}
     ab+a+b+1
     &=& (a+1)(b+1) \\
     &=& (2+1)(\sqrt{3}-1+1) \\
     &=& 3 \sqrt{3}
     \end{eqnarray}
    \)

\(3 \sqrt{3} \)

3. \(5-\sqrt{3}\)の整数部分を\(a\)、小数部分を\(b\)としたとき、\( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \)の値を求めなさい。

 

\(
    \begin{eqnarray}
     \sqrt{1} \lt &\sqrt{3}& \lt \sqrt{4} \\
     1 \lt &\sqrt{3}& \lt 2 \\
     -2 \lt & -\sqrt{3}& \lt -1　_{←マイナスをかけると大小関係が入れ替わる。} \\
     3 \lt &5-\sqrt{3}& \lt 4 \\
    \end{eqnarray}
   \)

よって\(a=3\)、\(b=5-\sqrt{3}-3=2-\sqrt{3}\)

\(
     \begin{eqnarray}
     \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}
     &=& \dfrac{a+b}{ab} \\
     &=& \dfrac{5-\sqrt{3}}{ 3 \left( 2- \sqrt{3} \right) } \\
     &=& \dfrac{\left(5-\sqrt{3}\right) \left( 2+ \sqrt{3} \right) }{ 3 \left( 2- \sqrt{3} \right)\left( 2+ \sqrt{3} \right) } \\
     &=& \dfrac{7+3\sqrt{3}}{3}
     \end{eqnarray}
    \)

\( \dfrac{7+3 \sqrt{3}}{3} \)

今回、\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)はそのまま代入しても計算量はほぼ変わらないです。工夫がないか考えてみて解きやすい方を選んでください。

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