根号の外れる条件
- \(\sqrt{30-n}\)が整数となるような自然数\(n\)をすべて求めなさい。
- \(\sqrt{60n}\)が整数となるような自然数\(n\)を小さい方から3つ求めなさい。
- \(\sqrt{\dfrac{180}{n}}\)が整数となるような自然数\(n\)をすべて求めなさい。
- \(n\)が自然数で、\( n \lt \sqrt{x} \lt n+1\)を満たす整数\(x\)が\(32\)個あるとき、\(n\)の値を求めなさい。
- \( \sqrt{x}\)が整数になるとき\(x=k^2\)である。(\(k\)は正の整数)
—-個数の数え方—-[重要]
整数a,bに対して
\( a \lt x \lt b \)を満たす整数\(x\)の個数は\(b-a \color{red}{-1}\)
\( a \leqq x \leqq b \)を満たす整数\(x\)の個数は\(b-a \color{red}{+1}\)
両端を含まないときは「引いてマイナス1」、両端を含むときは「引いてプラス1」と覚える。
※番号順に並んでいると考えるとわかりやすい。
1,2,3,4,5, 6,7,8,9,10,11,12,13
自分の番号が\(5\)で、番号\(12\)の人までを考える。
このとき、\(12-5\)というのは、自分の前から番号\(12\)まで何人いるかを計算している。つまり自分は入っていない。
両端を含むときは自分を含むようにプラス1をし、両端を含まないときは番号\(12\)の人を削るようにマイナス1をする。
- \(\sqrt{30-n}\)が整数となるような自然数\(n\)をすべて求めなさい。
- \(\sqrt{60n}\)が整数となるような自然数\(n\)を小さい方から3つ求めなさい。
- \(\sqrt{\dfrac{180}{a}}\)が整数となるような自然数\(n\)をすべて求めなさい。
- \(n\)が自然数で、\( n \lt \sqrt{x} \lt n+1\)を満たす整数\(x\)が\(32\)個あるとき、\(n\)の値を求めなさい。
\(30-n=k^2\)とおく。(\(k\)は正の整数)
\(n=30-k^2\)
\(k=0\)のとき、\(n=30\)
\(k=1\)のとき、\(n=29\)
\(k=2\)のとき、\(n=26\)
\(k=3\)のとき、\(n=21\)
\(k=4\)のとき、\(n=14\)
\(k=5\)のとき、\(n=5\)
\(k=6\)のとき、\(n=-6\)となり自然数\(n\)に反する。
\(a=5,14,21,26,29,30 \)
\(\sqrt{60n}=\sqrt{2^2 \times 3 \times 5 \times n}\)
根号の中が何かの二乗になれば良いので、
\(n=3 \times 5 \times k^2\) (\(k\)は自然数)
\(k=1\)のとき、\(n=15\)
\(k=2\)のとき、\(n=60\)
\(k=3\)のとき、\(n=135\)
\(a=135 \)
\(\sqrt{\dfrac{180}{a}}=\sqrt{\dfrac{2^2 \times 3^2 \times 5}{a}} \)
根号の中が何かの二乗になるためには、\(a\)の因数に\(5\)は含まれる。
また、約分できるので\(a\)の因数に\(2^2\)や\(3^2\)は含まれても良い。
よって、
\(a=5\)
\(a=5 \times 2^2=20 \)
\(a=5 \times 3^2=45 \)
\(a=5 \times 2^2 \times 3^2=180 \)
\(a=5,20,45,180 \)
すべての辺を二乗すると、
\( n^2 \lt x \lt (n+1)^2 \)
個数の関係から、
\((n+1)^2-n^2-1=32\)
\(2n=32\)
\(n=16\)
\(n=16 \)
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