平面図形_三平方_三角形の高さと面積

次の図の三角形\(ABC\)の面積を求めなさい。

1. 

頂点\(A\)から辺\(BC\)に引いた垂線を\(AD\)とする。

二等辺三角形の頂点から底辺に引いた垂線は、底辺を二等分するので、

\(BD= \dfrac{1}{2}BC=2 \)

\(\triangle ABD\)において三平方の定理を用いると

\(AD^2=6^2-2^2 \)

\(AD=±4 \sqrt{2} \)

\(AD>0\)より

\(AD=4 \sqrt{2} \)

よって三角形\(ABC\)の面積は

\(4 \times 4 \sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=8 \sqrt{2} \)

\(8 \sqrt{2} \)

2. 

頂点\(A\)から辺\(BC\)に引いた垂線を\(AD\)とする。

\( \triangle ABD \)は30度、60度の直角三角形なので、\(1:2:\sqrt{3}\)の辺の比を用いると

\(BD=3,AD=3 \sqrt{3} \)

\(\triangle ADC\)において三平方の定理を用いると

\(DC^2= \left( \sqrt{39} \right)^2- \left(3 \sqrt{3} \right)^2 \)

\(DC=±6 \)

\(DC>0\)より

\(DC=6 \)

よって三角形\(ABC\)の面積は

\((3+6) \times 3 \sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}= \dfrac{81}{2} \sqrt{3} \)

\( \dfrac{81}{2} \sqrt{3} \)

3. 

頂点\(A\)から辺\(BC\)に引いた垂線を\(AD\)とする。

\(BD=x\)とおき、\(\triangle ABD\)において三平方の定理を用いると

\(AD^2=5^2-x^2 \dots① \)

また、\(DC=6-x\)であり、\(\triangle ADC\)において三平方の定理を用いると

\(AD^2=7^2-(6-x)^2 \dots② \)

①、②より

\(5^2-x^2=7^2-(6-x)^2 \)

計算すると

\(x=1 \)

\(\triangle ABD\)において三平方の定理を用いると

\(AD^2=5^2-1^2 \)

\(AD>0\)より、

\(AD=2 \sqrt{6} \)

よって三角形\(ABC\)の面積は

\(6 \times 2 \sqrt{6} \times \dfrac{1}{2}=6 \sqrt{6} \)

\(6 \sqrt{6} \)

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