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関数_2次関数_放物線と相似

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 2次関数

 放物線と相似

例題

放物線\(m:y=x^2\)と放物線\(m:y=\dfrac{1}{2}x^2\)があり、2つの放物線と直線\(y=ax\)の交点を\(A\)、\(B\)、2つの放物線と直線\(y=bx\)の交点を\(C\)、\(D\)、原点を\(O\)とする。
 (\(a>0,b<0\))
関数_2次関数_放物線と相似

  1. \(\triangle OAC\)と\(\triangle OBD\)の面積の比を求めなさい。
  2. \(AB=\sqrt{2}\)のとき\(a^2\)の値を求めなさい。
    まずはこう解け!
 
  1. すべての放物線は相似である。(縮尺を変えれば重なるため。)
  2. \(y=ax^2\)、\(y=bx^2\)のような中学範囲で学習する放物線は頂点が原点にくるため、相似の中心は原点である。
          よって、次の関係が成り立つ。
       
    関数_2次関数_放物線と相似
        2つの放物線\(m:y=ax^2\)、\(n:y=bx^2\)があり原点を通る直線との交点を\(A,B\)とするとき、
        \(OA:OB=b:a\)(放物線の係数の絶対値の逆比の関係)になる。
       

【証明】
      2つの放物線\(m:y=ax^2\)、\(n:y=bx^2\)と直線\(y=cx\)との交点を\(A,B\)とする。
   

\(A\)の\(x\)座標を求める。\(y=ax^2\)と\(y=cx\)を連立させれば良い。\(x=\dfrac{c}{a}\)

同様に\(B\)の\(x\)座標は\(x=\dfrac{c}{b}\)

よって\(OA:OB\)の\(x\)方向の長さの比は\(OA_{x}:OB_{x}=\dfrac{c}{a}:\dfrac{c}{b}=b:c\)

\(A,B\)から\(x\)軸に垂線をそれぞれ下すと、三角形の相似より\(OA:OB=OA_{x}:OB_{x}=b:c\)

解答
    放物線\(m:y=x^2\)と放物線\(m:y=\dfrac{1}{2}x^2\)があり、2つの放物線と直線\(y=ax\)の交点を\(A\)、\(B\)、2つの放物線と直線\(y=bx\)の交点を\(C\)、\(D\)、原点を\(O\)とする。
     
    関数_2次関数_放物線と相似

  1. \(\triangle OAC\)と\(\triangle OBD\)の面積の比を求めなさい。
  2. 放物線の相似より、\(OA:OB=OC:OD=\dfrac{1}{2}:1=1:2\)

    よって、\(\triangle OAC\)と\(\triangle OBD\)は\(1:2\)の相似形でありその面積比は\(1^2 : 2^2=1:4\)

    \( \triangle OAC: \triangle OBD=1:4 \)

  3. \(AB=\sqrt{2}\)のとき\(a^2\)の値を求めなさい。
  4. \(y=x^2\)と\(y=ax\)の交点より、\(A(a,a^2)\)

    \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)と\(y=ax\)の交点より、\(B(2a,4a^2)\)

    三平方の定理より

    \( AB^2=(2a-a)^2+(4a^2-a^2)^2=9a^4+a^2 \)

    \(AB=\sqrt{2}\)より

    \(9a^4+a^2=2\)

    \(9a^4+a^2-2=0\)

    ここで\(a^2=t\)とおくと、

    \(9t^2+t^2-2=0\)

    \(t=a^2=\dfrac{-1 ± \sqrt{73}}{18}\)

    \(a>^2\)より\(a^2=\dfrac{-1 + \sqrt{73}}{18}\)

    \(a^2= \dfrac{-1+ \sqrt{73}}{18} \)

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