整数_文字式_商と余りの関係

1. ある自然数\(n\)を\(15\)でわると商が\(a\)で余りが\(14\)になる。この自然数\(n\)を\(3\)で割ったときの商と余りをそれぞれ求めなさい。
2. ある整数\(x,y\)があり、\(x\)を\(4\)でわると商が\(a\)で余りが\(3\)、\(y\)を\(5\)でわると商が\(b\)で余りが\(4\)になる。
   \(x\)と\(y\)の積\(xy\)を3で割ったときの商と余りを求めなさい。
3. ある自然数\(n\)を\(15\)でわると商と余りが同じになった。このような自然数のうち最大の自然数\(n\)を求めなさい。
4. \(150\)をある自然数\(n\)でわると商と余りが同じになった。このような自然数\(n\)として考えられるものをすべてを求めなさい。

1. ある自然数\(n\)を\(15\)でわると商が\(a\)で余りが\(14\)になる。この自然数\(n\)を\(3\)で割ったときの商と余りをそれぞれ求めなさい。

\(n=15a+14 \)

ここで3で割った商と余りを求めるために、\(3\times q + r\)に変形する。※\(r< 3\)に注意

\(n=3(5a+4)+2 \)

\((商)5a+4　(余り)2 \)

2. ある整数\(x,y\)があり、\(x\)を\(4\)でわると商が\(a\)で余りが\(3\)、\(y\)を\(5\)でわると商が\(b\)で余りが\(4\)になる。
   \(x\)と\(y\)の積\(xy\)を3で割ったときの商と余りを求めなさい。

\(x=4a+3 \)

\(y=5b+4 \)

\(xy=(4a+3)(5b+4) \)

\(xy=20ab+16a+15b+12 \)

\(xy=3(6ab+5a+5b+4)+2ab+a \)

\((商)6ab+5a+5b+4　(余り)2ab+a \)

3. ある自然数\(n\)を\(15\)でわると商と余りが同じになった。このような自然数のうち最大の自然数\(n\)を求めなさい。

商と余りをそれぞれpとすると、

\(n=15p+p \)

\(n=16p \)

ここで\(p\)は\(15\)で割ったときの余りのため、

\(p<15 \)

よって\(n\)が最大になるのは\(p=14\)のとき

\(n=16 \times 14=224 \)

\(224 \)

4. \(150\)をある自然数\(n\)でわると商と余りが同じになった。このような自然数\(n\)として考えられるものをすべてを求めなさい。

商と余りをそれぞれpとすると、

\(150=n \times p+p \)

\(150=(n+1) \times p \)

ここで\(p\)は\(n\)で割ったときの余りのため、

\(p < n \)

\(p < n+1 \)

ここで、積が\(150\)になる組み合わせを書き出すと

n+1	150	75	50	30	25	15
p	1	2	3	5	6	10

よって\(n\)として考えられるのは

\(149,74,49,29,24,14 \)

印刷はこちらから