等差数列と群数列
- ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列の100番目の数を求めなさい。
\(5,11,17,23,29 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列で\(185\)は左から何番目の数か求めなさい。
\(5,11,17,23,29 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列の100番目までの数の和を求めなさい。
\( 4,7,10,13,16 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列の100番目の数の和を求めなさい。
\( 2,2,5,2,5,8,2,5,8,11,2,5,8,11,14 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列で3回目に\(80\)が出てくるのは左から何番目か求めなさい。
\( 2,2,5,2,5,8,2,5,8,11,2,5,8,11,14 \dots \)
- 【公式】等差数列の\(n\)番目の数 (はじめの数が\(a\)、差が\(d\)のとき)
\(a+d(n-1)\) - 【公式】等差数列の\(n\)番目の数までの和 (はじめの数が\(a\)、おわりの数が\(b\)のとき)
\((a+b)\times n\div2\) - 個数が増える群数列は「段」で考えろ！
\( 2,2,5,2,5,8,2,5,8,11,2,5,8,11,14 \dots \)
このままだと考えづらいので、
1段目 \( \dots 2 \)
2段目 \( \dots 2,5 \)
3段目 \( \dots 2,5,8 \)
4段目 \( \dots 2,5,8,11 \)
5段目 \( \dots 2,5,8,11,14 \)
\( \dots \)
として考える。
【公式】等差数列の\(n\)番目の数の補足
5番目までの数であれば、はじめの数に差を4回足し算すればよい。
つまり、\(n\)番目までの数であれば、差を\(n-1\)回足せばよい。
【公式】等差数列の\(n\)番目のまで数の和の補足
1から10までの和\((S)\)を考える。
\(S=1+2+3+ \dots +8 +9 + 10\)
ここで順番を逆にしたSをもうひとつ用意して足し合わせる。
\( \begin{eqnarray}
S &=& 1 \ \ +2 +3+ \dots +8 +9 + 10 \\
S &=& 10+9+8+ \dots +3 +2 + \ \ 1 \\
\hline
2S &=& 11+11+11+ \dots +11+11 +11
\end{eqnarray} \)
\(S=\dfrac{11\times10}{2}\)
ここで\(11\)は数列のはじめの数\(1\)とおわりの数\(10\)の和、\(10\)が並んでいる個数を表すので、
(はじめの数＋おわりの数)×個数÷２
となる。
これは差が等しい数列すべてで成り立つ。
個数が増える群数列の補足
一般的な参考書では「段」ではなく「群」で説明している。わかりやすくするためここでは「段」を用いる。
- ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列の100番目の数を求めなさい。
\(5,11,17,23,29 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列で\(185\)は左から何番目の数か求めなさい。
\(5,11,17,23,29 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列の100番目までの数の和を求めなさい。
\( 4,7,10,13,16 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列の100番目の数の和を求めなさい。
\( 2,2,5,2,5,8,2,5,8,11,2,5,8,11,14 \dots \) - ある規則にしたがって次のように数を並べた。この数列で3回目に\(80\)が出てくるのは左から何番目か求めなさい。
\( 2,2,5,2,5,8,2,5,8,11,2,5,8,11,14 \dots \)
はじめの数\(a=5\)、差が\(d=6\)、\(n=100\)なので公式に当てはめると、
\(5+6 \times (100-1)=599 \)
\(599 \)
はじめの数\(a=5\)、差が\(d=6\)なので公式に当てはめると、
\(5+6 \times (n-1)=185 \)
\(6 \times (n-1)=180 \)
\(n-1=30 \)
\(n=31 \)
\(31a番目 \)
はじめの数\(a=4\)、差が\(d=3\)、\(n=100\)なので公式に当てはめると、
\(4+3 \times (100-1)=301 \)
100番目の数(おわりの数)は301とわかったので等差数列の和の公式より
\((4+301) \times 100 \div2=15250 \)
\(15250 \)
この群数列をわかりやすいくするために段に分ける。
このままだと考えづらいので、
1段目 \( \dots 2 \)
2段目 \( \dots 2,5 \)
3段目 \( \dots 2,5,8 \)
4段目 \( \dots 2,5,8,11 \)
5段目 \( \dots 2,5,8,11,14 \)
\( \dots \)
・・・
・・・
このとき、１段目には１個、２段目には２個、・・・と数が並んでいるので、100個目が並んでいる段を見つける。
※目星を付けて等差数列の和で計算するか、順に足していけば良い。
14段目の左から9番目の数は
\(2+3 \times (9-1)=26 \)
\(26 \)
各段は、はじめの数2、差が3の等差数列である。この等差数列で80が出てくるのは
\(2+3 \times (n-1)=80 \)
\(n=26 \)
数字が26個並ぶ段は26段目である。つまり、80がはじめて出てくるのは26段目の最後(左から26番目)、
2回目に出てくるのは27段目の左から26番目
27段目までの個数の和に26個足せば良いので、
\((1+27) \times 27 \div2+26=404 \)
\(404番目 \)
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