整数_約数_連続する整数の和

210を連続する正の整数の和で表すことを考える。これについて次の問に答えなさい。

1. 210を7個の正の整数の和で表しなさい。
2. 210を個の正の整数の和で表したとき、最大の数と最小の数を答えなさい。
3. 210を最大で何個の連続する正の整数の和として表すことができるか。

1. 210を7個の正の整数の和で表しなさい。

7個に分けたときの平均は

\(210 \div7=30 \)

\(30\)を境にして\((7-1) \div 2 = 3\)個ずつ並ぶので、

\(27,28,29,30,31,32,33 \)

2. 210を12個の正の整数の和で表したとき、最大の数と最小の数を答えなさい。

真ん中の２つの数のうち小さいほうを\(n\)とするとその和は

\((n-5)+(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n\)
\(+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6) \)

\(12n+6=210 \)

\(n=17 \)

よって最小の数は\(n-5=12\)、最大の数は\(n+6=23\)

\(最小の数:12、最大の数:23 \)

3. 210を最大で何個の連続する正の整数の和として表すことができるか。

奇数個に分ける場合→中央の数が平均になる。

個数を\(2n-1\)個、中央の数を\(a\)とすると

\(a(2n-1)=210 \)

またこのときの最小の数は\(a-n\)になり、\(a-n>0\)が成り立つ。

[2n-1=105のとき]n=53、a=2、a-n=-51で不適

[2n-1=35のとき]n=17、a=6、a-n=-11で不適

[2n-1=21のとき]n=10、a=10、a-n=0で不適

[2n-1=15のとき]n=7、a=14、a-n=7、よって、\(7,8,9,\dots,21,22\)の15個

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偶数個に分ける場合、個数を2n、真ん中の２つの数のうち小さい数をaとするとその和は、

\((a-(n-1))+(a-(n-2))+ \dots(a-2)+(a-1)\)
\(+a+(a+1)+(a+2)+ \dots+(a+n-1)+(a+n) \)

等差数列の和より、\( \left( (a-(n-1))+(a+n) \right) \times 2n \div 2 \)が成り立つので、

\(n(2a+1)=210 \)

これをaについて解くと

\(a= \dfrac{210-n}{2n} \)

ここで\(n\)は\(210\)の約数であり、\(210-n\)が\(2\)の倍数であるから、\(n\)は210の約数のうち、2の倍数であるもの。また、最小の数\(a-(n-1)>0\)

[n=2]のとき、\(a=\dfrac{210-n}{2n}=\dfrac{210-2}{4}=52\)、\(a-(n-1)=52-(2-1)=51>0\)なので、2n=4個は存在する。

[n=6]のとき、\(a=\dfrac{210-n}{2n}=\dfrac{210-6}{12}=17\)、\(a-(n-1)=17-(6-1)=12>0\)なので、2n=12個は存在する。

[n=10]のとき、\(a=\dfrac{210-n}{2n}=\dfrac{210-10}{20}=10\)、\(a-(n-1)=10-(10-1)=1>0\)なので、2n=20個は存在する。

[n=14]のとき、\(a=\dfrac{210-n}{2n}=\dfrac{210-14}{28}=7\)、\(a-(n-1)=7-(14-1)=-12< 0\)なので不適

[n=30],[n=42],[n=70],[n=210]もそれぞれ不適

よって偶数個、奇数個通して20個が最大。

\(20個 \)

ある程度は調べていくしかない。計算の範囲で調べることもできるが、現実的でない。算数的解法で解いても同じぐらいの作業量になる。

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