合同な直角三角形を２つ重ねた図形

平面・相似・応用★

問題　

下の図は合同な直角三角形を２つ重ねた図形です。三角形EBFの面積を求めなさい。

●問題文●

まずはこう解け！

解答

（\(B\)を通り\(EC\)に垂直な線を引き、\(ED\)との交点を\(G\)とする。）
三角形\(EBG\)と三角形\(ECD\)の相似より、
\(GB＝3×\displaystyle \frac{ 4 }{ 4+3 } ＝1 \displaystyle \frac{ 7 }{ 5 }\)
次に、三角形\(FGB\)と三角形\(FDA\)の相似形に注目すると、
\( GF：FD＝GB：DA＝1 \displaystyle \frac{ 7 }{ 5 } ：4＝3：7\)
三角形\(ABF\)の面積を求めるために、\(F\)から\(BC\)に垂直な線を引く。
ここで\(GF：FD＝3：7\)より、\(BH：HC＝3：7\)で、\(BC＝3cm\)なので、
\( BH＝3×3\displaystyle \frac{ 3 }{ 3+7 } ＝0.9cm\) \(\qquad EH＝4＋0.9＝4.9 cm\)
三角形\(EHF\)と三角形\(ECD\)の相似より、
\(FH＝3×4.94+3 ＝2.1cm\)
よって三角形\(EBG＝4×2.1÷2＝4.2cm^2\)

答え　 \(4.2cm^2\)