内接円の半径

平面・円・応用★★

下の図のように直角三角形ABCの内側に半円が接しているとき半円の半径を求めなさい。

ミスターN

高校受験だと、とても有名な問題です。
しかし、中学受験だと習っていない受験生も多い問題です。
一度は触れておきたい問題です。

Step1　中心から各頂点に線を引いて三角形に分ける！

Step2　中心から接点に垂線を引いて三角形の高さにする！

Step3 　 面積から半径を逆算する！

※円の中心から接点に線を引くと、その線は接線と垂直になることも覚えておこう!

解答

半円の半径を□とする。
三角形\(ABC\)の面積は\(12\times 5\div 2＝30\)　…①
また三角形\(ABC\)を▲と▲の三角形に分けて面積を表すと
\(12 \times □ \div 2＋5 \times □\div 2\)　…②

①、②で求めた面積はどちらも同じ面積なので等しい。
\(12 \times □\div 2＋5 \times □\div 2＝30\)
\(8.5 \times □＝30\)

\(□＝30 \div 8.5＝\displaystyle \frac{ 60 }{ 17 } =3\displaystyle \frac{ 9 }{ 17 } \)

答え　\(3\displaystyle \frac{ 9 }{ 17 }\)