確率_さいころ_典型問題

1. 2つのさいころを振り、出た目の数を\(x\)、\(y\)とする。\(x < 2y \)となる確率を求めなさい。
2. 2つのさいころを振ったとき、出た目の少なくとも一方が4より大きくなる確率を求めなさい。
3. 2つのさいころを振り、出た目の数を\(x\)、\(y\)とし、座標平面上の点\(P(x,y)\)を考える。
     点\(A(1,2)\)とし、\(AP≦\sqrt{17} \)となる確率を求めなさい。
4. 3つのさいころを振り出た目の数を\(x\)、\(y\)、\(z\)とする。\(xyz\)(\(x\)、\(y\)、\(z\)の積)が偶数になる確率を求めなさい。
5. 3つのさいころを振ったとき、出た目のうち2つが同じで、残り1つが異なる確率を求めなさい。
6. 3つのさいころを振り出た目の数を\(x\)、\(y\)、\(z\)とする。\( \dfrac{y}{x}=z-1 \)となる確率を求めなさい。
7. 5つのさいころ降ったとき、出た目の和が6の倍数になる確率を求めなさい。

1. 2つのさいころを振り、出た目の数を\(x\)、\(y\)とする。\(x < 2y \)となる確率を求めなさい。

表を書く。


\(x\)と\(2y\)を比較したいので横軸には\(2y\)の値を書き入れる。

当てはまるものには○、当てはまらないものに×を書き入れると、

\( \dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}\)

\( \dfrac{3}{4} \)

2. 2つのさいころを振ったとき、出た目の少なくとも一方が4より大きくなる確率を求めなさい。

表を書いても良いが、余事象(○○でないとき）を利用すると簡単。

少なくとも一方が4より大きい→「両方とも3以下」でないとき

両方とも3以下である目の出方は\(3 \times 3=9\)通りで確率は、\(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)

よって少なくとも一方が4より大きい確率は\(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

\( \dfrac{3}{4} \)

迷う人は表でも良い。


3. 2つのさいころを振り、出た目の数を\(x\)、\(y\)とし、座標平面上の点\(P(x,y)\)を考える。
     点\(A(1,2)\)とし、\(AP≦\sqrt{17} \)となる確率を求めなさい。

座標平面上に図示する。


線分\(AP\)の長さが\(\sqrt{17}\)以下のところを数えれば良い。

なお、\(\sqrt{17}\)は、2つの辺が\(1\)、\(4\)の直角三角形の斜辺\(\left( \sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17} \right) \)なので、
 
図のように\( (1,5),(3,5),(6,2) \)の3点が\(AP=\sqrt{17} \)となる。

なお、\((5,4)\)の点では\(AP=2\sqrt{3}=\sqrt{18}\)となり条件は満たさない。
判断が難しい点は計算しつつ、あとは数え上げる。

\( \dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3} \)

\( \dfrac{2}{3} \)

4. 3つのさいころを振り出た目の数を\(x\)、\(y\)、\(z\)とする。\(xyz\)(\(x\)、\(y\)、\(z\)の積)が偶数になる確率を求めなさい。

全部で\(6 \times 6 \times 6=126\)通り。

3つの数の積(かけ算)が偶数になる条件は複雑なため、
3つの数の積(かけ算)が奇数になる場合を考える。

3つの数のかけ算(積)が奇数になるのは\( (奇数) \times (奇数) \times (奇数) \)のときだけなので、その場合は

\(3 \times 3 \times 3=27\)通り。

結果は「偶数」か「奇数」かの2通りしかないので、余事象として計算すると、

偶数になるのは\( 216-27=189\)通り。

\( \dfrac{189}{216}=\dfrac{7}{8} \)

\( \dfrac{7}{8} \)

5. 3つのさいころを振ったとき、出た目のうち2つが同じで、残り1つが異なる確率を求めなさい。

3つのさいころの出る目の組み合わせは、

① \(( a,a,a ) 　\dots _{3つ同じ}\)

② \(( a,a,b ) 　\dots _{2つ同じ}\)

③ \(( a,b,c ) 　\dots _{全部異なる}\)

の3パターンしかない。②の2つ同じパターンは計算しづらいため、①と③を求めその余事象として求めた方が簡単。

①のパターンは\(6 \times 1 \times 1 =6\)通り。

③のパターンは\(6 \times 5 \times 4 =120\)通り。

②のパターンは①、③以外なので\( 216-(6+120)=90 \)通り。

よって確率は\( \dfrac{5}{12} \)

\( \dfrac{5}{12} \)

6. 3つのさいころを振り出た目の数を\(x\)、\(y\)、\(z\)とする。\( \dfrac{y}{x}=z-1 \)となる確率を求めなさい。

\(x\)、\(y\)、\(z\)のうちどらか１つを固定しながら当てはまるものを調べる。

【\(z=1\)】のとき\( \dfrac{y}{x}=0 \)　→　\(0\)通り

【\(z=2\)】のとき\( \dfrac{y}{x}=1 \)　→　\(6\)通り

【\(z=3\)】のとき\( \dfrac{y}{x}=2 \)　→　\(3\)通り

【\(z=4\)】のとき\( \dfrac{y}{x}=3 \)　→　\(2\)通り

【\(z=5\)】のとき\( \dfrac{y}{x}=4 \)　→　\(1\)通り

【\(z=6\)】のとき\( \dfrac{y}{x}=5 \)　→　\(1\)通り

当てはまるのは\( 6+3+2+1+1=13 \)

よって求めるべき確率は\( \dfrac{13}{216} \)

\( \dfrac{13}{216} \)

7. 5つのさいころ降ったとき、出た目の和が6の倍数になる確率を求めなさい。

明らかに数え上げられないときは考え方を変える。
(割と解きやすいようにできていることが多い。)

さいころが何個であったとしても出た目の和は
   
①6の倍数
   
②6の倍数+1
   
③6の倍数+2
   
④6の倍数+3
   
⑤6の倍数+4
   
⑥6の倍数+5
   
という余りが異なる6パターンしかない。

つまり、4つ目のさいころを投げ終わった時点でその6パターンなので、5つ目のさいころで6の倍数に調整してあげれば良い。

例えば4つ目までの和が「6の倍数+2」であったとき、5つ目で4が出れば余り6になり、6の倍数になる。

よって、4つ目までの目の出方は何でもよく、5つ目は1通りの出方しかないので、

\( \dfrac{6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 1}{6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 }=\dfrac{1}{6} \)

\( \dfrac{1}{6} \)

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