平面図形_円_共円条件(見えない円)

1. 次の図において\(x\)の角度を求めなさい。
   
2. 次の図において\(\triangle ABD\)と\(\triangle ACE\)はそれぞれ正三角形であり、点\(F\)は\(DC\)と\(BE\)の交点である。
    
   このとき、4点\(A,F,C,E\)が同一円周上にあることを証明しなさい。
   
3. 次の図において\( \triangle ABC\)は\( \angle BAC=90° \)の直角三角形、\( \triangle BDC\)は\( \angle BDC=90° \)の直角三角形であり、
       点\(E\)は直線\(AB\)と直線\(CD\)の交点である。また、\(BC\)の中点を\(F\)とする。このとき、\( \angle AFD \)の大きさを求めなさい。
    
   

1. 次の図において\(x\)の角度を求めなさい。



\( \angle ADB = \angle ACB \)より円周角の定理の逆より、4点\(A,B,C,D\)は同一円周上にある。

円周角は等しいので\( \angle BAC= \angle BDC \)

よって、\( x=38° \)

\(x=38°\)

2. 次の図において\(\triangle ABD\)と\(\triangle ACE\)はそれぞれ正三角形であり、点\(F\)は\(DC\)と\(BE\)の交点である。
    
   このとき、4点\(A,F,C,E\)が同一円周上にあることを証明しなさい。



\(\triangle DAC\)と\(\triangle BAE\)において、

\(DA=BA \dots ①\)
  \(AC=AE \dots ②\)

ここで、
  \(\angle DAC= \angle DAB + \angle BAC=60+\angle BAC \)
  \(\angle BAE= \angle EAC + \angle BAC=60+\angle BAC \)
  \(\angle DAC =\angle BAE \dots ③\)

2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
\( \triangle DAC ≡ \triangle BAE \)

合同な三角形の対応する角が等しいので、\( \angle ACD(ACF)=\angle AEB(AEF)\)

よって円周角の定理の逆より、4点\(A,F,C,E\)は同一円周上にある。



3. 次の図において\( \triangle ABC\)は\( \angle BAC=90° \)の直角三角形、\( \triangle BDC\)は\( \angle BDC=90° \)の直角三角形であり、
       点\(E\)は直線\(AB\)と直線\(CD\)の交点である。また、\(BC\)の中点を\(F\)とする。このとき、\( \angle AFD \)の大きさを求めなさい。



\( \angle BAC= \angle BDC \)より、4点\((A,B,C,D)\)は同一円周上にある。

また、\(\angle BAC= \angle BDC=90°\)より、\(BC\)はその円の直径であり、点\(F\)は中心である。

よって\( \angle AFD \)は中心角であり、円周角の定理より

\( \angle AFD = 2 \angle ABD \)が成り立つ。

直角三角形\( BDE \)より\( \angle ABD=30 \)なので、

\( \angle AFD = 2 \angle ABD = 60° \)

\( \angle AFD=60°\)

なお、この図形の共円条件はもう一つあるのでそれにも気づけるようにしておくこと。

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