関数_2次関数_直交条件

放物線\(m:y=\dfrac{1}{2}a^2 x^2\)と直線\(ℓ:y=ax+4\)があり、点\(A\)、\(B\)で交わっている。これについて次の問に答えなさい。
ただし\(a>0\)とする。

1. 交点\(a\),\(b\)の座標を表しなさい。ただし\(a\)を用いても良いものとする。
2. \(y\)軸上に点\(C(0,12)\)があり、直線\(AC\)と直線\(BC\)は直角に交わる。このとき\(a\)の値を求めなさい。
3. 線分\(AB\)を直径とする円を書き、原点\(O\)が円周上にくるとき、\(a\)の値を求めなさい。

放物線\(m:y=\dfrac{1}{2}a^2 x^2\)と直線\(ℓ:y=ax+4\)があり、点\(A\)、\(B\)で交わっている。これについて次の問に答えなさい。
 ただし\(a>0\)とする。

1. 交点\(a\),\(b\)の座標を表しなさい。ただし\(a\)を用いても良いものとする。

\(y=\dfrac{1}{2}a^2 x^2\)、\(y=ax+4\)を連立すると、

\(\dfrac{1}{2}a^2 x^2=ax+4\)

\(a^2 x^2=2ax+8\)

\(a^2 x^2-2ax-8=0\)

\((ax-4)(ax+2)=0\)

\(x=\dfrac{4}{a},-\dfrac{2}{a}\)

\(y\)座標は\(y=ax+4\)に代入して計算すれば良い。

\(A \left(- \dfrac{2}{a},2 \right),B \left( \dfrac{4}{a},8 \right) \)

\(y=ax+4\)を\(x\)について解き、\(y=\dfrac{1}{2}a^2 x^2\)に代入して\(y\)から求めても良い。

2. \(y\)軸上に点\(C(0,12)\)があり、直線\(AC\)と直線\(BC\)は直角に交わる。このとき\(a\)の値を求めなさい。

\(A \left(-\dfrac{2}{a},6 \right),B \left( \dfrac{4}{a},8 \right),C(0,12)\)があり、直線\(AC\)と直線\(BC\)の傾きの積が\(-1\)になれば良い。

※今回、\(x\)の増加量が分数になるため(傾き)=(yの増加量)÷(xの増加量)で計算する。

\(AC\)の傾きは

\( \left( 12-6 \right) \div \left( 0- \left(-\dfrac{2}{a} \right) \right) \)

\(=6 \div \dfrac{2}{a}=3a \)

\(BC\)の傾きは

\( \left( 12-8 \right) \div \left( 0- \dfrac{4}{a} \right) \)

\(=4 \div \dfrac{4}{a}=-a \)

傾きの積が\(-1\)なので、

\(3a \times (-a)=-1 \)

\(a^2= \dfrac{1}{3}\)

\(a>0\)より

\(a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(a= \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \)

3. 線分\(AB\)を直径とする円を書き、原点\(O\)が円周上にくるとき、\(a\)の値を求めなさい。



\(AB\)を直径とする円を書いたとき、円周角の定理より\( \angle AOB=90° \)になる。

よって、直線\(AO\)と直線\(BO\)が垂直に交わるように計算すれば良い。

①より、\( A \left(-\dfrac{2}{a},2 \right),B \left( \dfrac{4}{a},8 \right) \)なので、

\( \dfrac{2-0}{\left( -\dfrac{2}{a} \right)-0} \times \dfrac{8-0}{\left( -\dfrac{4}{a} \right)-0} =-1 \)

※増加量から式を立てたが、比例の式から求めても良い。

※分母に分数がくる分数は、\(\dfrac{Y}{X}=Y \div X\)のようにわり算で計算処理すること。

\( -a \times 2a =-1 \)

\(a>0\)より

\(a= \dfrac{1}{ \sqrt{2}}= \dfrac{ \sqrt{2}}{2} \)

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