方程式_文章題_食塩水

1. 9.6%の食塩水が400g入っている容器から、100gの食塩水を捨て、かわりに100gの水を入れよくかきまぜた。
     その後、もう一度100gの食塩水を捨て、かわりに100gの水を入れると、食塩水の濃さは何%になるか。
2. 14.4%の食塩水が300g入っている容器から、\(x\)gの食塩水を捨て、かわりに同量の水を入れよくかきまぜた。
     その後、もう一度100gの食塩水を捨て、かわりに同量の水を入れると、10%になった。\(x\)を求めなさい。
3. 容器Aには\(a\)%の食塩水が200g入っていて、容器Bには\(b\)%の食塩水が300g入っている。
     容器Aから150gの食塩水を容器Bに移して良くかきまぜたあと、容器Bから150gの食塩水を容器AにもどしたところAの濃さは12%になった。また、
   この操作をもう一度行ったところ、Aの濃さは13％になった。\(a,b\)をそれぞれ求めなさい。
4. 容器Aには\(a\)%の食塩水が入っていて、容器Bには\(b\)%の食塩水が入っている。
     次に、容器Aと容器Bから1：1の割合で食塩水を混ぜて容器Cに入れ、容器Aと容器Bから2：3の割合で食塩水を混ぜて容器Dに入れる。
   容器Cと容器Dから1:2の割合で食塩水を混ぜると5.2％の食塩水ができ、容器Cと容器Dから2:1の割合で食塩水を混ぜると3.6％の食塩水ができるという。\(a,b\)をそれぞれ求めなさい。

    まずはこう解け!
 

1. ビーカー図をもとに状況を整理する。
2. 繰り返しの問題は割合を利用する。
3. 重さが比で与えられたら具体的な数値で計算する。

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①ビーカー図の書き方

上から「濃さ」「全体」「食塩」の順に書く習慣をつけておくと、上からかけ算する関係なので扱いやすい。

 
\(12 \%×200\)のように、%は\( \dfrac{1}{100} \)を表すので\(200\)を\( \dfrac{1}{100} \)倍して\(2\)にしてからかけ算するとラク。

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②割合の利用

例）200gのうち50gを捨てる。→捨てる食塩の量は\(\dfrac{50}{200}\)、残る食塩の量は\(\dfrac{150}{200}\)

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③比を具体的な数値にする

AとBを1:2の割合で混ぜる。→Aを100g、Bを200gとする。

※すべての問題で置き換えれば良いということではない。置き換えても比の関係がずれないかどうか、推測すべきである。

1. 9.6%の食塩水が400g入っている容器から、100gの食塩水を捨て、かわりに100gの水を入れよくかきまぜた。
     その後、もう一度100gの食塩水を捨て、かわりに100gの水を入れると、食塩水の濃さは何%になるか。

 

ビーカー図を書いて計算する。

9.6%		9.6%		0%		？ %
400g	–	100g	+	100g	=	400g
38.4g	–	9.6g	+	0g	=	28.8g

\(？=28.8 \div400=7.2%,false \)

同じようにもう一度ビーカー図を書いて計算する。

7.2%		7.2%		0%		？？ %
400g	–	100g	+	100g	=	400g
28.8g	–	7.2g	+	0g	=	21.6g

\(？？=21.6 \div400=5.4%,false \)

\(5.4% \)

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【別解】

１回の操作で\(400g\)のうち\(100g\)を捨てるので、残る食塩の量は操作前の\(\dfrac{400-100}{400}=\dfrac{3}{4}\)倍

全体の量は変わらないので濃さは食塩の量に比例するため、濃さも１回の操作ごとに\(\dfrac{3}{4}\)倍になる。

よって、

\(9.6 \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4}=5.4 \)

\(5.4% \)

2. 14.4%の食塩水が300g入っている容器から、\(x \ \)gの食塩水を捨て、かわりに同量の水を入れよくかきまぜた。
     その後、もう一度100gの食塩水を捨て、かわりに同量の水を入れると、10%になった。\(x\)を求めなさい。

 

1回の操作ごとに濃さは操作前の\(\dfrac{300-x}{300}\)倍

濃さについて式を立てると

\(14.4 \times \left( \dfrac{300-x}{300} \right)^{2}=10 \)

\( \left( \dfrac{300-x}{300} \right) ^{2}=\dfrac{10}{14.4} \)

\( \left( \dfrac{300-x}{300} \right) ^{2}=\dfrac{25}{36} \)

\( \dfrac{300-x}{300} = ± \dfrac{5}{6} \)

\(  300-x = ± 250 \)

\(x=50,-250 \)

\(x > 0\)より

\(x=50 \)

3. 容器Aには\(a\)%の食塩水が200g入っていて、容器Bには\(b\)%の食塩水が300g入っている。
     容器Aから150gの食塩水を容器Bに移して良くかきまぜたあと、容器Bから150gの食塩水を容器AにもどしたところAの濃さは12%になった。また、
   この操作をもう一度行ったところ、Aの濃さは13％になった。\(a,b\)をそれぞれ求めなさい。

a%				b%
200g				300g
2a(g)				3b(g)
↓	↘			↓
		a%
↓		150g		↓
		1.5a(g)
↓			↘	↓
a%				？%
50g				450g
0.5a(g)				1.5a+3b(g)
↓			↙	↓
		？%
↓		150g		↓
		(★1)
↓	①↙			↓
12%				？%
200g				300g
24(g)				(★2)

★1を計算する。容器Bに入っている\(450g\)のうち、\(150g\)を移しているので

\(★1=(1.5a+3b) \times \dfrac{150}{450}=0.5a+b \)

同様にして★2は

\(★2=(1.5a+3b) \times \dfrac{450-150}{450}=a+2b \)

また、①の混ぜ合わせから食塩の量に関する式を立てると

\(0.5a+★1=24 \)

\(0.5a+0.5a+b=24 \)

\(a+b=24 \dots(1) \)

続いて図示して解いていく。

12%				？%
200g				300g
24(g)				(★2) a+2b(g)
↓	↘			↓
		12%
↓		150g		↓
		18(g)
↓			↘	↓
12%				？？%
50g				450g
6(g)				a+2b+18(g)
↓			↙	↓
		？？%
↓		150g		↓
		(★3)
↓	②↙			↓
13%				？？%
200g				300g
26(g)				(★4)

\(★3=(a+2b+18) \times \dfrac{150}{400}= \dfrac{1}{3}a+ \dfrac{2}{3}b+6 \)

②の混ぜ合わせから食塩の量に関する式を立てると

\(6+★3=26 \)

\(6+ \dfrac{1}{3}a+ \dfrac{2}{3}b+6=26 \)

\( \dfrac{1}{3}a+ \dfrac{2}{3}b=14 \dots(2) \)

(1)、(2)より連立方程式を解くと

\(a=6,b=18 \)

4. \(a\)%の食塩水Aと、\(b\)%の食塩水Bがある。
   食塩水Aと食塩水Bを1：1の割合でまぜたものを食塩水C、食塩水Aと食塩水Bを3：1の割合でまぜたものを食塩水Dとする。
   また、食塩水Cと食塩水Dを1:2の割合で混ぜると5.2％の食塩水ができ、食塩水Cと食塩水Dを2:1の割合で混ぜると4.8％の食塩水ができるという。\(a,b\)をそれぞれ求めなさい。

食塩水Cの濃さを\(x\)％、食塩水Dの濃さを\(y\)％とする。

食塩水Cと食塩水Dを100gと200gで混ぜ合わせると5.2％の食塩水ができるはずなので、

\( \dfrac{x}{100} \times 100+ \dfrac{y}{100} \times 200= \dfrac{5.2}{100} \times 300 \)

\(x+2y=15.6 \dots① \)

同様に食塩水Cと食塩水Dを2:1の割合で混ぜて3.6%になるときを式にすると、

\(2x+y=14.4 \dots② \)

①、②より、

\(x=4.4,y=5.6 \)

また、食塩水AとBについても同じように求めると、

\( \dfrac{a}{100} \times 100+ \dfrac{b}{100} \times 100= \dfrac{4.4}{100} \times 200 \)

\( \dfrac{a}{100} \times 300+ \dfrac{b}{100} \times 100= \dfrac{5.6}{100} \times 400 \)

\(\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}a+b=8.8 \\ 3a+b=22.4\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

解くと

\(a=6.8,b=3 \)

※混ぜ合わせは計算できるところからする。今回であればCとDの混ぜ合わせから計算した方がラク。aとbで表した計算し続けると少し大変。（できないことはない。）

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