平面図形_相似_正方形の折り返し

次の図のような1辺\(18\)の正方形\(ABCD\)があり、線分\(EF\)を折り目として折り曲げたところ、頂点\(A\)は頂点\(A’\)、頂点\(B\)は頂点\(B’\)に移った。
 \(AE=10\)のとき、次の問に答えなさい。なお、点\(G\)は\(A’B’\)と\(BC\)との交点である。

1. \(B’F\)の長さを求めなさい。
2. 四角形\(A’EFG\)の面積を求めなさい。
3. \(EF\)の長さを求めなさい。

1. \(B’F\)の長さを求めなさい。

直角三角形に記号を書き入れる。



(ここで、\(\triangle A’DE\)∽\(\triangle GCA’\)∽\(\triangle GB’F\)であることに注目しておくこと。)

\(\triangle DEA’\)において三平方の定理より

\(A’D= \sqrt{10^2-8^2}=6 \)

\(A’C=18-6=12 \)

\(\triangle GCA’\)∽\(\triangle A’DE\)であり、\(GC:CA’:A’G=A’D:DE:EA’=3:4:5\)の辺の比なので

\(GC=12 \times \dfrac{3}{4}=9 \)

\(A’G=12 \times \dfrac{5}{4}=15 \)

また、

\(GB’=18-15=3 \)

さらに、\(\triangle GB’F\)∽\(\triangle GCA’\)であり、\(GB’:B’F:FG=GC:CA’:A’G=3:4:5\)の辺の比なので

\(B’F=3 \times \dfrac{4}{3}=3 \)

\(FG=3 \times \dfrac{5}{3}=5 \)

\(B’F=4 \)

2. 四角形\(A’EFG\)の面積を求めなさい。



(四角形\(A’EFG\))=(台形\(A’EFB’\))-(直角三角形\(GB’F\))で求まるので

\((5+10) \times 18 \times \dfrac{1}{2}-3 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=129 \)

\(129 \)

3. \(EF\)の長さを求めなさい。



点\(F\)から\(AD\)に垂線\(FH\)を引く。

直角三角形\(FHE\)において三平方の定理より

\(FE= \sqrt{18^2+(10-4)^2}=6 \sqrt{10} \)

\(EF=6 \sqrt{10} \)

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