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平面図形_三平方_特別角の三角形

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 三平方

 特別角の三角形

例題

次の図の三角形\(ABC\)において、\(x\)、\(y\)の長さをそれぞれ求めなさい。

  1. 平面図形_三平方_特別角の三角形
  2. 平面図形_三平方_特別角の三角形
  3. 平面図形_三平方_特別角の三角形
    まずはこう解け!
 
  1. 三角形の分割の仕方を覚えておくこと。
  2. (45度、60度、75度)の三角形の辺の比は3秒で書き込めるようにしておくこと。
         
    ※30度、60度の直角三角形から\(1:2:\sqrt{3}\)、そのまま45度の直角三角形に移って\(\sqrt{3}:\sqrt{3}:\sqrt{6}\)と書き込めば良い。
         
    (45度→60度→75度の順で)\((1+\sqrt{3}):2:\sqrt{6}\)を覚えておくのが望ましい。
       

解答
  1. 平面図形_三平方_特別角の三角形
  2. 頂点\(C\)から辺\(AB\)に引いた垂線を\(CD\)とする。

    30度,60度の直角三角形の辺の比、45度の直角二等辺三角形の辺の比を利用して、図のようにすべての辺の長さの比を書き込む。

    比の2にあたる長さが6なので、

    \(x=3 \sqrt{3}+3,y=3 \sqrt{6} \)

  3. 平面図形_三平方_特別角の三角形
  4. 頂点\(B\)から直線\(AC\)に引いた垂線を\(BD\)とする。

    すると、三角形\(BAD\)は30度、60度の直角三角形

    三角形\(DBC\)は\(DB=DC\)の直角二等辺三角形三角形であるので、図のように辺の長さの比を書き入れる。

    比の2にあたる長さが6なので、

    \(x=3 \sqrt{6} \)

    \(y=3 \left( \sqrt{3}-1 \right) \)

    \(x=3 \sqrt{6},y=3 \left( \sqrt{3}-1 \right) \)

  5. 平面図形_三平方_特別角の三角形 平面図形_三平方_特別角の三角形
  6. 三角形\(ABC\)は\(AB=AC\)の二等辺三角形なので、

    \(y=6 \)

    図のように角\(B\)を30度と45度に分けるように直線\(BD\)を引く。

    三角形\(BDC\)は(45度、60度、75度)の三角形なので辺の長さの比を書き入れる。

    また、三角形\(ABD\)は\(AD=DB\)の二等辺三角形なので、

    \(AD\)の長さの比は

    \(AD=BD= \sqrt{3}+1 \)

    よって

    \(AC=AD+DC= \sqrt{3}+1+2= \sqrt{3}+3 \)

    ここで、比の\( \left( \sqrt{3}+3 \right) \)にあたる長さが6なので、

    \(x=6 \times \dfrac{ \sqrt{6}}{ \sqrt{3}+3} \)

    \(x=3 \sqrt{6}-3 \sqrt{2} \)

    \(x=3 \sqrt{6}-3 \sqrt{2},y=6 \)

    【別解】

    平面図形_三平方_特別角の三角形 平面図形_三平方_特別角の三角形

    三角形\(ABC\)は\(AB=AC\)の二等辺三角形なので、

    \(y=6 \)

    図のように角\(B\)を30度と45度に分けるように直線\(BD\)を引き、\(D\)から\(AB\)に垂線を下す。

    45°の直角二等辺三角形から辺の長さの比を書き入れる。

    また、三角形\(ABD\)は\(AD=DB\)の二等辺三角形なので、

    ここで、比の\( \left( \sqrt{3}+1 \right) \)にあたる長さが6なので、

    \(x=6 \times \dfrac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{3}+1} \)

    \(x=3 \sqrt{6}-3 \sqrt{2} \)

    \(x=3 \sqrt{6}-3 \sqrt{2},y=6 \)

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