立体図形_正四面体_基本知識

1辺の長さが\(a\)の正四面体において

1. 表面積=\(\sqrt{3}a^2\)
2. 高さ=\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}a\)
3. 体積=\( \dfrac{ \sqrt{2} }{12}a^3 \)
4. 内接球の半径=\( \dfrac{ \sqrt{6} }{12}a\)
5. 外接球の半径=\( \dfrac{ \sqrt{6} }{4}a\)

※証明ができるようにしておくこと。※公式として覚えておくこと。

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①表面積の求め方

それぞれの面は正三角形なので1つあたりの面積は\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

それが4面あるので、表面積は\(\sqrt{3}a^2\)

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②高さの求め方

頂点\(B\)から辺\(CD\)に下した垂線を\(AE\)とする。\(H\)は\( \triangle ACD \)の重心なので、\(BH:HE=2:1\)

\(BE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)であり、\(BH=BE \times \dfrac{2}{2+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a \)

直角三角形\(ABH\)において三平方の定理より\(AH=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a \)

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③体積の求め方

底面積\(\triangle BCD=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\)、高さ\(AH=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a \)より、
体積は\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \dfrac{\sqrt{6}}{3}a \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{ \sqrt{2} }{12}a^3\)

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③内接球の半径の求め方

内接球は各面の正三角形の重心と接する。

\(\triangle ABG \)で切り出す。

\(H\)は面\(BCD\)の重心であるため、\(BH:HG=2:1\)

また\(BG=AG\)のため、\(BH:HG:AG=2:1:3\)

1点から引いた2本の接線の性質から\( \angle AGD = \angle HGO \)であり、

角の二等分線の定理より\(AO:OH=3:1\)

\(AH=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a \)とわかっているので

\(OH=AH \times \dfrac{1}{1+3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{\sqrt{6}}{12}a\)

※内接球の半径の求め方として、体積と面積から逆算する方法も知っておくべき。

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④外接球の半径の求め方

3点\(A,B,G\)を含む平面で切り抜く。

正四面体の内接球の中心と外接球の中心は一致する。内接球の半径を求めた関係を利用すると、

\(OA=AH \times \dfrac{3}{1+3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}a\)