立体図形_内接球と外接球_いろいろな立体

■内接球の半径を求める。

図より内接球の半径は立方体の1辺の長さの半分なので、

\( \dfrac{1}{2}a \)

■外接球の半径を求める。

図より外接球の半径は立方体の対角線の長さの半分なので、

\( \dfrac{ \sqrt{3}}{2}a \)

正四面体については正四面体_基本知識を参考にしてください。

■内接球の半径を求める。

\( \dfrac{ \sqrt{6}}{12}a \)

■外接球の半径を求める。

\( \dfrac{ \sqrt{6}}{4}a \)

■内接球の半径を求める。

正四角錐を図示した三角形\(ABC\)で切り抜く。球は\(\triangle ABC \)の三辺に接しているので、三角形の内接円の半径を面積から求めれば良い。

正四角錐の側面の正三角形より

\(AB=AC= \dfrac{ \sqrt{3}}{2}a \)

また\(BC=a\)であり、\(\triangle ABC\)の高さを三平方で求めると、

\( \dfrac{ \sqrt{2}}{2}a \)

よって\(\triangle ABC\)の面積は

\(a \times \dfrac{ \sqrt{2}}{2}a \times \dfrac{1}{2}= \dfrac{ \sqrt{2}}{4}a^2 \)

ここで内接円(内接球)の半径を\(r\)とすると、面積の関係より

\( \dfrac{ \sqrt{2}}{4}a^2= \dfrac{1}{2} r \left( \dfrac{ \sqrt{3}}{2}a+ \dfrac{ \sqrt{3}}{2}a+a \right) \)

\(r= \dfrac{ \sqrt{2}}{2( \sqrt{3}+1)}a \)

分母を有理化すると

\(r= \dfrac{ \sqrt{6}- \sqrt{2}}{4}a \)

\(r= \dfrac{ \sqrt{6}- \sqrt{2}}{4}a \)

■外接球の半径を求める。

正四角錐を図示した三角形\(ABC\)で切り抜く。球は\(\triangle ABC \)の各頂点に接しているので、三角形の外接円の半径を求めれば良い。

ここで\(AB=AC=a\)、\(BC=\sqrt{2}a\)なので、\(\triangle ABC\)は\(\angle BAC=90\)の直角二等辺三角形である。

よって、外接円(外接球)の中心は\(BC\)の中点と一致する。

\( \dfrac{ \sqrt{2}}{2}a \)

■内接球の半径を求める。

円錐を図示した三角形\(ABC\)で切り抜く。球は\(\triangle ABC \)の三辺に接しているので、三角形の内接円の半径を面積から求めれば良い。

三平方の定理より\(\triangle ABC\)の高さは

\( \sqrt{10^2-6^2}=8 \)

\(\triangle ABC\)の面積は

\(12 \times 8 \times \dfrac{1}{2}=48 \)

ここで内接円(内接球)の半径を\(r\)とすると、面積の関係より

\(48=(12+10+10)r \)

\(r= \dfrac{8}{7} \)

\(r= \dfrac{8}{7} \)

■外接球の半径を求める。

円錐を図示した三角形\(ABC\)で切り抜く。球は\(\triangle ABC \)の各頂点に接しているので、三角形の外接円の半径を求めれば良い。

\(A\)から\(BC\)に下ろした垂線を\(AH\)とし、外接円の中心を\(O\)とする。

\(\triangle ABH\)において三平方の定理より

\(AH= \sqrt{10^2-6^2}=8 \)

ここで外接円の半径を\(R\)とすると、\(OB=R\)、\(OH=8-R\)

\(\triangle OBH\)において三平方の定理より

\(R^2=(8-R)^2+6^2 \)

\(R= \dfrac{25}{4} \)