条件から２数を求める
- 2桁の自然数\(A\),\(B\) \((A>B)\)があり、最大公約数が\(5\)、最小公倍数が\(90\)になる。自然数\(A\),\(B\)を求めなさい。
- 自然数\(A\),\(B\) \((A>B)\)があり、\(A\)と\(B\)の積が\(3240\)、最小公倍数が\(360\)になる。考えられる自然数\(A\),\(B\)の組み合わせをすべて求めなさい。
- 自然数\(A\),\(B\) \((A>B)\)があり、\(A\)と\(B\)の和が\(100\)、最小公倍数が\(576\)になる。自然数\(A\),\(B\)を求めなさい。
- \(A=aG\)、\(B=bG\)、\(L=abG\)、\(AB=LG\)を使って計算する。式の詳細は下に説明。
- もとの2つの数を\(A\)、\(B\)、最大公約数を\(G\)、最小公倍数を\(L\)とする。
- \(A\)、\(B\)をそれぞれ\(G\)で割った商を\(a\)、\(b\)とする。このとき、\(a\)、\(b\)は互いに素(公約数を持たない数)である。
※Gは最大公約数のため当然割り切ることができる。 - この時点で\(A=aG\)、\(B=bG\)は成り立つ。
- 最小公倍数\(L\)は、\(A\)の倍数でもあり、\(B\)の倍数でもあるので\(L=abG\)となる。
※\(L=A \times B =abG^{2}\)ではない。\(G^{2}\)でなくてもそれぞれの倍数になることは明らか。 - \(A \times B=(aG) \times (bG) =(abG) \times G=LG \)が成り立つ。
\(G\):Greatest common divisor(最大公約数)、\(L\):Least common multiple(最小公倍数)
※GreatestとLeastを覚えておけば判断しやすい。
- 2桁の自然数\(A\),\(B\) \((A>B)\)があり、最大公約数が\(5\)、最小公倍数が\(90\)になる。自然数\(A\),\(B\)を求めなさい。
- 自然数\(A\),\(B\) \((A>B)\)があり、\(A\)と\(B\)の積が\(3240\)、最小公倍数が\(360\)になる。考えられる自然数\(A\),\(B\)の組み合わせをすべて求めなさい。
- 自然数\(A\),\(B\) \((A>B)\)があり、\(A\)と\(B\)の和が\(100\)、最大公約数が\(4\)、最小公倍数が\(576\)になる。自然数\(A\),\(B\)を求めなさい。
問題の条件を式で表すと
\(G=5,L=90,A=5a,B=5b \)
ここで、\(AB=GL\)より、
\(AB=5a \times5b=25ab=5 \times90 \)
\(ab=18 \)
abは互いに素で、\(A>B\)より\(a>b\)なので条件を満たすのは
\((a,b)=(18),(9,2)\)
※\((a,b)=(6,3)\)は互いに素でないので不適。
\(A=6a\)、\(B=6b\)より、\(A\),\(B\)は
\((A,B)=(90,5),(450)\)
このうち\(A\),\(B\)ともに2桁の条件を満たすのは、
\((A,B)=(45,10) \)
問題の条件を式で表すと
\(AB=3240,L=360 \)
ここで、\(AB=GL\)より、
\(3240=G \times360 \)
\(G=9 \)
また、\(AB=aG \times bG=3240\)より、
\(abG^2=3240 \)
\(ab \times9^2=3240 \)
\(ab=40 \)
abは互いに素で、\(A>B\)より\(a>b\)なので条件を満たすのは
\((a,b)=(40),(8,5)\)
※\((a,b)=(20,2),(10,4)\)は互いに素でないので不適。
\(A=9a\)、\(B=9b\)より、\(A\),\(B\)は
\((A,B)=(360,9),(72,45)\)
問題の条件を式で表すと
\(A+B=100,G=4,L=360 \)
ここで、\(AB=abG^2=GL\)より、
\(ab=L \div G \)なので
\(ab=576 \times4 \)
\(ab=144 \ \ \dots① \)
また、\(A+B=aG+bG=G(a+b)=100\)より、
\(4(a+b)=100 \)
\(a+b=25 \ \ \dots② \)
①、②を満た\(a\),\(b\)を求めれば良い。
②より、
\(b=25-a \ \ \dots③\)
③を①に代入すると、
\(a(25-a)=144\)
\((a-9)(a-16)=0\)
\(a=96\)
\(a+b=25\)より
\((a,b)=(96),(16,9)\)
\(a>b\)なので、
\((a,b)=(16,9)\)
\(A=aG、B=bG\)より、
\((A,B)=(64,36)\)
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