基本解法
次の方程式を満たす整数\(x,y\)の組は何個あるか求めなさい。ただし、\( 0≦x≦100,0≦y≦100 \)とする。
- \(4x-7y=0\)
- \(4x-7y=1\)
- \(4x+7y=105\)
- \(x\)または\(y\)について解く。
※条件が絞りやすい方について解く。よくわからない場合、両方について解いてみれば良い。 - はじめて条件を満たす数を見つける。(順に数を当てはめる)
- 周期性を利用して求める。
等差数列の公式も使えるように！
はじめの数が\(a\)でそこから\(d\)ずつ増える数列のN番目の数は
\(a+d(N-1)\)で計算できる。
\(5,8,11,14,17・・・\)という数列の場合、はじめの数\(a=5\)、そこから3ずつ増えているので\(d=3\)
もし、50番目の数を求めたいのであれば\(5+3\times(50-1)=152\)
- \(4x-7y=0\)
- \(4x-7y=1\)
- \(4x+7y=105\)
\(y\)について解くと
\(y= \dfrac{4}{7}x \)
\(y\)が整数になるためには、\(x\)は7の倍数であれば良い。
\(0≦x≦100\)より条件を満たす最大の\(x\)は
\(100 \div7=14…2 \)
\(7 \times14=98 \)
よって条件を満たす\(x\)は\(x=7\)から\(x=98\)までの7の倍数
このとき対応する\(y\)は\(y=4\)から\(y=56\)までで\(0≦y≦100\)の範囲内であり問題はない。
よって求める個数は\(98 \div 7=14\)
\(14個 \)
\(y\)について解くと
\(y= \dfrac{4}{7}x+ \dfrac{1}{7} \)
\(y\)が整数になるためには、\(1+4x\)が7の倍数であれば良い。\(x\)に順に数を入れていくと
\(x=5,y=3 \)
\(x\)には\(\dfrac{?}{7}\)がかけられているので、+7ごとに\(y\)が整数になる条件を満たす。
| +7 | +7 | +7 | |||||||||
| x | 5 | 12 | 19 | 26 | ・・・ | ||||||
| y | 3 | 7 | 11 | 15 | ・・・ | ||||||
| +4 | +4 | +4 | |||||||||
つまり\(x\)は、\(5+7 \times(n-1)\)で表される数列になる。
\(0≦x≦100\)より条件を満たす\(x\)は\(x=5\)から\(x=96\)まで
このとき対応する\(y\)は\(y=3\)から\(y=55\)までで\(0≦y≦100\)の範囲内であり問題はない。
よって求める個数は\(14個\)
\(14個 \)
※細かい計算は省略。等差数列の個数がよくわからない人は表を数えあげてください。
\(x\)について解くと
\(x= \dfrac{105-7y}{4} \)
\(x\)が整数になるためには、\(105-7y\)が4の倍数であれば良い。
また\(105-7y≧0\)より\(y≦14.5…\)つまり、\(y\)は14より小さい数を求めれば良いので順番に調べると
| y | 14 | 13 | 12 | 11 | … | 7 | … | 3 |
| x | × | × | × | 7 | … | 14 | … | 21 |
\(100 \div7=14…2 \)
\(7 \times14=98 \)
よって条件を満たす\(x\)は\(x=7\)から\(x=98\)までの7の倍数
表より、条件を満たすのは\( (x,y)=(11,7),(7,14),(3,21) \)の3組
\(3個 \)
※表の処理は規則性を用いて処理したいところです。
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