3点の移動（シャドーの利用）

平面・点の移動・応用★

問題

下の図のように、\(AE＝30㎝、EB＝10㎝、AD＝90㎝\)の長方形ABCDがあります。点\(P\)は\(A\)を出発して毎秒\(1㎝\)で\(AD\)間を往復します。また、点\(Q\)は\(F\)を出発して毎秒\(2㎝\)でFE間を、点\(R\)は\(B\)を出発して毎秒\(3㎝\)で\(BC\)間を往復します。点\(P、Q、R\)が同時に出発したとして、次の問に答えなさい。

（１）点\(P、Q、R\)が一直線上になるのは出発してから何秒後ですか。
（２）三角形\(PQR\)の面積が2回目に\(120㎝^2\)になるのは出発してから何秒後ですか。

まずはこう解け！

解答

点Sの速さを求めるために1秒後の図を書く！

（点\(O\)から辺\(BC\)に垂直な線を引き、その線と\(EF、BC\)の交点をそれぞれ\(G、H\)とする）
\(PG：PH＝3：(3＋1)＝3：4\)より三角形\(PGS\)と三角形\(PHR\)の相似比は\(3：4\)
ここで\(GS=\)①、\(HR＝\)④とおくと、\(1＋\)④\(=3\)、計算すると①\(=0.5\)
点\(S\)が1秒間で進んだ距離\(ES\)は、\(1＋\)③\(＝2.5cm\)、よって点\(S\)は毎秒\(2.5cm\)になる。

（１）　点\(P,Q,R\)が一直線になるためには、点\(S\)と点\(Q\)が重なればよい。
点\(S\)と点\(Q\)は、はじめ\(90cm\)はなれていて秒速\(2.5cm\)と秒速\(2cm\)で近づくので、
重なるまでの時間は\(90 \div（2.5+2）＝20 \)秒後

（２）三角形\(PQR\)の面積は、\(SQ\)を底辺、\(AB\)を高さ（の合計）と考える。

三角形\(PQR＝120cm^2\)、\(AB＝40㎝\)より、\(SQ＝120×2÷40＝6㎝\)になれば良い。
\(SQ\)の長さは\(90㎝→6㎝→0㎝→6㎝…\)と変化するので、
２回目に\(6㎝\)になるのは\(（90+6）\div（2.5+2）＝\displaystyle \frac{ 21 }{ 13 }\) 秒後
\( \frac{ 21 }{ 13 }\) 秒後のRとQの位置を確認すると、
\(BR＝3 \times \displaystyle \frac{ 21 }{ 13 } =64cm \)

\( FQ=2 \times \displaystyle \frac{ 21 }{ 13 } = \displaystyle \frac{ 42 }{ 23 } cm\)

\(BR、FQ\)ともに\(120cm\)以下であり、折り返していないので正解として適当。
よって、 \(\displaystyle \frac{ 21 }{ 13 }　\) 秒後

答え　\(\displaystyle \frac{ 21 }{ 13 }\) 秒後